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    <title>初等函数</title>
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<body>

<p class="example">
	<span class="formula">
		`max{x,y}, min{x,y} = (x+y)/2 +- |x-y|/2`.
	</span>
	`max{x,a}` 和 `min{x,a}` 的图像.
	`(max{x,a}-a)/(x-a)`, `(x-max{x,a})/(x-a)`,
	`((max{x,a}-a)(x-max{x,b}))/((x-a)(x-b))` 的图像.
</p>

<p class="theorem">
	设非空集合 `A sube RR^+` 有上界. `n in ZZ^+`,
	`A^n = {a^n | a in A}`,
	则 `"sup"(A^n)` 存在, 且
	`"sup"(A^n) = ("sup" A)^n`.
</p>

<ol class="proof">
	不妨设 `n ge 2`. 记 `x = "sup" A`.
	<li>`x^n` 是 `A^n` 上界.
		任取 `a^n in A^n`, 则 `a le x`, 故 `a^n le x^n`.
	</li>
	<li>`x^n` 是 `A^n` 最小上界.
		设 `y ge a^n`, `AA a in A`. 断言 `x^n le y`.
		否则, 取 `epsi = (x^n - y)/(nx^(n-1)) gt 0`,
		则存在 `a_epsi in A`, `a_epsi gt x - epsi`.
		利用 `n` 次方差公式放大, 有
		<span class="formula">
			`  x^n - a_epsi^n
			lt x^n - (x-epsi)^n
			lt epsi n x^(n-1)
			=  x^n - y`,
		</span>
		从而 `y lt a_epsi^n`, 矛盾.
	</li>
</ol>

<ol class="example">
	<b>函数的奇偶性</b>
	<li>若 `f` 以 `a` 为对称轴, 则 `f(a+x)` 是偶函数,
		即
		<span class="formula">
			`f(a+x) = f(a-x)`.
		</span>
		一般地, 若 `f` 满足 `f(a+x) = f(b-x)`, 令 `t = (a-b)/2 + x`,
		即化为 `f((a+b)/2 + t) = f((a+b)/2 - t)`, 可见 `f` 以 `(a+b)/2`
		为对称轴.
	</li>
	<li>若 `f` 以 `(a, b)` 为对称中心, 则 `f(a+x)-b` 是奇函数,
		即
		<span class="formula">
			`f(a+x)+f(a-x) = 2b`.
		</span>
		一般地, 若 `f` 满足 `f(a+x) + f(b-x) = 2c`, 令 `t = (a-b)/2 + x`,
		即化为 `f((a+b)/2+t) + f((a+b)/2-t) = 2c`, 可见 `f` 以 `((a+b)/2,
		c)` 为对称中心.
	</li>
</ol>

<ol class="example">
	<li>设 `f(x)` 在 `x ge 0` 时有定义, 将它的图像沿 `y` 轴作对称开拓
		(偶延拓), 就得到 `f(|x|)` 的图像;</li>
	<li>将 `f(x)` 的图像位于 `x` 轴下方的部分折叠到 `x` 轴上方, 就得到
		`|f(x)|` 的图像.
	</li>
</ol>

<p class="example">
  设 `f` 的定义域关于原点对称, 则 `f` 可以分解为偶函数与奇函数之和:
  <span class="formula">
    `f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2`.
  </span>
  类似的命题还有, `n` 阶矩阵可以分解为对称阵和反对称阵之和;
  有界变差函数可以分解为单增函数与单减函数之和.
</p>

<p class="example">
  <b>函数作图</b>
  用计算器作 `f(x)`, `x in [a, b]` 的图像, 可以利用表达式
	<span class="formula">
    `f(x) + 0 sqrt((x-a)(b-x))`
	</span>
</p>

<ol class="example">
	函数大冒险
	<li>`sqrt(1-x^2)*sin(500x)*abs(x)`</li>
	<li>`sqrt(1-x^2)*(sin(500x)+cos(x))/2`</li>
	<li>`sqrt(1-x^2)*(sin(500x)*cos(x)+x)/3`</li>
	<li>`(exp(2x)-exp(-2x)+sin(500x))*sin(500x)/5`</li>
	<li>`(sqrt(1-x^2)*cos(500x)+abs(x))*0.7`</li>
	<li>`(x-y)*(x+0.2)*(y-0.2) gt 0`</li>
	<li>`(x+y)*(x-y)*(x-0.2)*(y-0.1) lt 0.001`</li>
</ol>

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</body>
</html>
